Remidi (membuat Artikel tentang aplikasi/penerapan matematika bab Suku banyak, Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi, Limit Fungsi)

1.      LIMIT FUNGSI

Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati suatu bilangan a adalah nilai pendekatan fungsi f(x) bilaman x mendekati a.

Contoh 1
Tentukan limit dari :

 

 Jawab :
Untuk nilai x mendekati 1 maka (4×2+1) akan mendekati .12 + 1 = 5 sehingga nilai dari

 

 Contoh 2
Tentukan nilai dari limit :

Jawab
Misal sobat langsung memasukkan nili x = 1 ke dalam persamaan hasilnya tidak akan terdefinisi karena bilangan pembagi ketemu 0 (x-1). Akan tetapi bentuk di atas masih bisa disederhakan guna menghilangkan komponen pembagi yang bernilai nol yaitu

Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi

Adakalanya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya adalah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan.

Limit Bentuk 0/0

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam :

 

Ketika kamu menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persaman kuadrat kamu bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a²-b² = (a+b) (a-b). Berikut contohnya :

 

Bentuk ∞/∞

Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :

Contoh Soal

Coba sobat tentukan

 

Jawab

Berikut rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk  ∞/∞ yaitu :

• Jika m<n maka L = 0
• Jika m=n maka L = p/q
• Jika m>n maka L = ∞

Bentuk Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul dalam ujian nasional. Bentuk soalnya akan sangat beragam. Namun demikian, penyelesaiannya tidak jauh-jauh dari penyederhanaan. Be creative, out of the box. Berikut contoh soal yang kami ambil dari ujian nasional 2013.

Tentukan Limit :

Jika kamu masukkan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞). Untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi

Penerapan limit fungsi dalam bidang  fisika adalah, untuk menghitung kecepatan sesaat.

Sumber            : http://rumushitung.com/2014/03/02/limit-matematika-dan-contoh-soal/

2.      SUKU BANYAK

1. Pengertian Sukubanyak

 Bentuk Umum  :  axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + ….+ qx + r

  Variable   x

• Derajat sukubanyak  n
• Koefisien sukubanyak : a  ,  b  ,  c  , … , q  ,  r
• Banyaknya koefisien  =  n + 1
• Pangkat bilangan cacah.

 2. Nilai suku banyak

F(x) = x ³ + 3x ² – 4x – 3

• Cara substitusi  :  Kita tinggal mengganti x dengan nilai yang diminta.

  f( 2 ) = 2 ³ + 3.2 ² – 4.2 – 3  = 9

 3. Kesamaan suku banyak

     Dua suku banyak dikatakan sama jika derajat dan tiap suku yang bersesuaian sama.

 4. Pembagian sukubanyak

• Pembagian terstruktur / porogapit ( semua bisa mengunakan ini )
• Pembagian sintetik :

*  Pembagi harus linear atau dapat dibuat menjadi faktor linear

      *  jika dibagi  ax + b  maka hasil bagi harus dibagi a.

 5. Teorema Sisa

            Jika f (x)  dibagi   x – a   maka sisanya   f (a).

 6. Teorema faktor

            Jika  f ( a ) = 0  maka   x  - a  merupakan faktor dari  f (x)

 7. Persamaan polinom

·        Diselesaikan dengan cara difaktorkan dahulu. Untuk memfaktorkan gunakan teorema faktor.

·        Sifat – sifat akar persamaan :

ax ² + bx + c = 0                                1.    x ₁ + x ₂ = -b / a

                                                          2.    x ₁ . x ₂ = c / a

ax ³ + bx ² + cx + d = 0         1.    x₁ + x₂ + x₃ = -b/a

2.        x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c/a

3.         x₁.x₂.x₃ =  -d/a

  ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

1.    x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -b/a

             2.   x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₁.x₄ + x₂.x₃ + x₂.x₄ + x₃.x₄ = c/a

             3.   x₁.x₂.x₃ + x₁.x₂.x₄ + x₁.x₂.x₄ + x₂.x₃.x₄ = -d/a

             4.   x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

Penerapan        :

            Dalam penerapannya suku banyak biasanya digunakan untuk membuat suatu alat transportasi atau yang lainnya. Misal pada alat transportasi, suku banyak digunakan untuk menentukan perbandingan antara bagian yang satu dengan bagian yang lainnya. Dalam hal ini penggunanya bisa mengukur dan mempertimbangkan suatu ukuran yang diinginkan agar bisa mengetahui keseimbangan, berat, struktur, bentuk, dan ukuran alat tersebut. Jika unsur-unsur tersebut diketahui maka pengerjaan suatu alat transportasi tersebut bisa dipermudah selain itu tidak perlu ada perasaan was-was dalam pembentukan maupun pengerjaannya. Sehingga benda tersebut akan cepat selesai dengan hasil yang memuaskan.

 Dalam bidang lain suku banyak digunakan untuk menghitung suatu tumpukan-tumpukan barang yang berbentuk sama dengan jumlah isi yang berbeda. Dengan demikian sipengguna bisa mengetahui berapa banyak barang yang ada dalam beberapa tumpukan yang berbeda tempatnya dan jumlahnya.

Misalnya ada suatu box kecil yang hanya bisa diisi dengan 20 butir telur. Lalu ada box sedang yang isinya 2 kalinya isi dari box kecil. Dan juga ada box besar yang bisa diisi dengan 4 kalinya box kecil. Jika box kecil ada 3 tumpukan, box sedang ada 1 tumpukan, dan box besar ada 2 tumpukan maka rumusnya yaitu :

f(x) = x3 + x32 + x2
f(x) = x3 + 4x2 + 2x
f(20) = 203 + 4.202 + 2.20
f(20) = 80000 + 1600 + 40
f(20) = 81640

Jadi jumlah keseluruhan jumlah telur yang ada dari tumpukan-tumpukan tersebut berjumlah 81640 butir telur.

Sumber                        : http://matematikalc.angelfire.com/suku_banyak.htm  dan  http://ardiangood.blogspot.com/2011/01/penerapan-suku-banyak-polinom-dalam.html

 

3.      KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

Fungsi atau Pemetaan

Apa sebenarnya yang dimakasud dengan fungsi atau pemetaan? suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf ef kecil (f). Misalny f adalah fungsi yang memtakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis :

f : A → B

A disebut dengan daerah asal [domain]
B disebut dengan daerah kawan [codomain]

 Jikaf memetakan x ∈ A ke y ∈B maka dapat sobat hitung katakan bahwa y adalah peta dari x dan dapat ditulis f : x → y (f memetakan x ke y) atau y adalah fungsi dari x, y = f(x).

Contoh

Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan daerah asal A = {a,b,c,d,e} daerah kawan B = {1,2,3,4,5,6} f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) = 3; f(d) = 4; f(e) = 5, sehingga didapat range (daerah hasil) H = {1,2,3,4,5}

 fungsi yang memetakan daerah asal ke daerah kawan bermacam-macam sobat, bisa fungsi sederhana, linier, kuadrat, dan sebagainya.

Contoh
Misal f: R → R dengan f(x+2) = x²-x, tentukan berapa nilai f(x) dan f(1)
Kita misalkan y = x + 2, sehingga x = y-2
f(y) = (y-2)² – (y-2) = y² – 4y + 4 – y +2 = y² -5y + 6
sehingga bisa didapat f(x) = x² -5x + 6
f(1) = 1² -5(1) + 6 = 2

Komposisi Fungsi

Jika sobat hitung menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Apa yang sobat lakukan tersebut disebut dengan mengkomposisikan fungsi dan hasilnya disebut komposisi fungsi. Coba sobat hitung simak ilustrasi berikut :

 

Pada diagram di atas fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g (sobat mungkin sering sebut fog atau f bundaran g). Jadi jika kira rinci

• g(y) = g(f(x))
• h(x) =  g(f(x)) atau h (x) = (g o f) (x) = g(f(x))

Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikut :

Jika f(x) = 2x² + 1 dan g(x) = x+2
tentukan :
a. (g o f ) (x)
b. (g o f ) (5)
c. (f o g) (x)
d. (f o g) (3)

Jawab:
mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, sobat hanya perlu mentaati asas ketika memasukkan nilai x.
a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x²+1) = 2x²+1 + 2 = 2x²+3
b. (g o f ) (5) = 2(5)² + 3 = 53
c. (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f
(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)² +1 = 2 (x²+4x+4) +1 = 2x² + 8x +8 + 1 = 2x² + 8x + 9
d. (f o g) (3) = 2(3)² + 8(3) + 9 = 51

Invers Fungsi

Apa itu invers fungsi? Misal sobat punya fungsi f: A → B maka invers fungsi dari f dinyatakan dengan f-1: B → A

jika y = f(x) maka x = f^-1(y).
Hasil invers dari suatu fungsi dapat merupakan fungsi atau bukan fungsi. Kapan invers suatu fungsi merupakan fungsi juga? Jawabannya ketik fungsi tersebeut berkorespondensi satu-satu. Ketika suatu fungsi bukan merupkan korespondensi satu-satu maka inversnya bukan merupakan sebuah fungsi melainkan suatu relasi.

Bagaimana Menentukan Invers Suatu Fungsi?

• Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya denga y
• Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y
• Mengganti y dalam fungsi menjadi x

Contoh
Tentukan ivers dari fungsi   f(x) = 2x + 6
Pembahasan
f(x) = 2x + 6
misal y = 2x + 6
2x = y – 6
x = ½ y – 3
dengan demikian f^-1(y) = ½ y – 3 atau f^-1(x) = ½ x – 3

Contoh 2
Tentukan Invers dari fungsi y = 2x + 3/ 4x + 5
jawab :
y = 2x + 3/ 4x + 5
y (4x + 5) = 2x + 3
4yx + 5y = 2x + 3
4yx – 2x = 3 – 5y
x (4y-2) = 3 – 5y
x = 3 – 5y / 4y-2
atau
x = -5y +3 / 4y – 2
jadi dengan dimikian f^-1 (y) = 2x + 3/ 4x + 5 = -5y +3 / 4y – 2
atau f^-1(x) = -5x +3 / 4x – 2.

Penyelesaian contoh soal fungsi komposisi nomor dua bisa kamu kerjakan dengan menggunakan rumus cepat yaitu :

Jika f(x) = ax + b/cx + d maka inversnya f^-1(x)  = -dx + b / cx – a

KOMPOSISI FUNGSI

Fungsi :

• Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
• Pada fungsi  f : A -- B , himpunan A disebut daerah asal ( domain ) fungsi f dan dinotasikan dengan Df. Himpunan B disebut daerah kawan ( kodomain ) dan dinotasikan dengan Kf. Himpunan semua peta A di B disebut daerah hasil ( range ) dan dilambangkan  Rf.

Fungsi Komposisi :

• Apabila   f  suatu fungsi dari A ke B, dan g suatu fungsi dari B ke C, maka h suatu fungsi dari  A  ke  C  disebut fungsi komposisi dari  f   dan  g dan dinyatakan dengan h = g o f ( dibaca : g bundaran f atau  g komposisi f ). (g o f)(x) = g ( f(x) )
• Umumnya tidak komutatif     (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
• Bersifat asosiatif  :  (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
• Ada identitas sehingga   (I o f)(x) = (f o I)(x)

Fungsi Invers :

• Apabila f adalah fungsi dari A ke B, maka invers fungsi f adalah relasi dari B ke A. Invers fungsi suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi, jika invers fungsi merupakan fungsi maka invers tersebut dinamakan fungsi invers.
• Fungsi f mempunyai fungsi invers  f ^-1 jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif / korespondensi satu-satu.
• f ( a ) = b   setara dengan  f ^-1 (b) = a
• (f ^-1) ^-1(x) = f(x).
• (f o g) ^-1(x) = (g ^-1 o f ^-1)(x).
• (f o f ^-1)(x) = (f ^-1 o f)(x) = I(x)
• ((f o g) o g ^-1 )(x) = f(x)
• (f ^-1 o(f o g))(x) = g(x).

Sumber            : http://rumushitung.com/2013/11/02/fungsi-komposisi-fungsi-dan-invers-fungsi-matematika/ dan http://matematikalc.angelfire.com/komposisi.htm